Нестандартни анализ и фрактални цифрови системи - допълваща медицина

Приложение 5
CUSTOM АНАЛИЗИ И Fractal цифрови системи
Тази книга се използва постоянно, от една страна, идеята за фракталната организация на пространство-времето, а от друга - reyhenbahovsky версия на несигурност отношение на Хайзенберг, въз основа на концепциите за нестандартен анализ. Много от математическите аспекти на тези подходи са все още се възприема като интуитивно очевидно. Въпреки това, в действителност нещата не са толкова прости. В крайна сметка, по математика в момента не съвсем задоволителен като определение на фрактал, както и разработването на идеи за топологични характер на нестандартен анализ. И тъй като ние се опитваме да покажем по-долу, тя изглежда като най-обещаващ опит за цялостна, съвместен подход за изясняване на тези два въпроса.

Всъщност математика е известно [358, 427], фрактален обикновено се определя като пространствена структура, която е самостоятелно подобен когато мащабиране. Привлекателността на тази дефиниция е, че той посочва директно към структурната и алгоритмични инвариантна напречно слой прехода - съотношението на сходство. В същото време в оригиналната форма на това определение е съвсем недостатъчни дори за много детерминирани фрактали, да не говорим стохастичният. С този подход, са извън обхвата на класовете са обширни като чисто математически конструкции и природни обекти и процеси, които в действителност това е възможно и дори необходимо, да се прилагат точно фракталната описанието.

Въпреки това, в някои действителната математически труд върху теорията на фракталите [358] Последната се определя като обекти, за които Хаусдорф измерение - Besicovitch не съвпадат с топологични измерение Дим. Това определение, разбира се, по-стриктно и в голяма степен от първото. Въпреки това, той не е без основни пропуски. На първо място, това не е конструктивна, т.е. Тя не съдържа изрично позоваване на фундаменталните свойства на фрактални структури - тяхната йерархия. Особено това важи за в него никаква индикация за наличието на някои strukturnoalgoritmicheskogo инвариант. На второ място, това е твърде широк. Всъщност, разликата между тези измерения на едно от нивата на изследваната структура се не може да се счита за признак на фрактал на цялата структура. На трето място, както е отбелязано [358], за да се изчисли размера на Хаусдорф - Besicovitch специфичен дизайн - това е много трудно, което често изисква години на изследвания.
Как да се помогне на каузата? Връщайки се към първото определение. Лесно е да се види, че тя се основава на свързването на три ключови понятия: &ldquo пространство&rdquo-, &ldquo-прилика връзка&rdquo- и &ldquo мащаб&rdquo-. На свой ред, това трио е в центъра на &ldquo-прилика връзка&rdquo-. Логично е да се опита да получи задоволително определение на фрактал, чрез промяна на посоченото по-горе определение на ключови понятия. Например, основната концепция &ldquo-прилика връзка&rdquo- може да се определи, тъй като някои strukturnoalgoritmichesky инвариант в най-общ вид. Освен това, на скалата (скала структура ниво) логично представени по следния начин.
Имайте предвид, първо, че нивата на мащаба на всяка структура, трябва да бъдат разединени - в противен случай разпределението им не е от значение. По силата на критерия за конвергенция Общата Коши, dizjunktnost нива могат да бъдат осигурени само ако много от тях не повече от изброимо, въпреки че с всяко ниво може да се характеризира с каквото и власт множество елементи. Следователно, всички нива структура мащаб може да се дължи на физически кодове и по този начин (посочени нива чиито индекси се различават от една съседна) да им съотношение е определено съседство. Тогава структура ниво скала (скала) може да се определи като един от изброимо множество скелети, така че съществува сред subalgorithms сграда структура най-малко един, не е инвариант по отношение на този фундамент в дисплей (за) всеки два съседни това.
И накрая, на концепцията за &ldquo пространство&rdquo- задоволително дефинирано в общата топология.
По този начин, задоволителен определяне на фрактал ще разгледа първата от по-горе в настоящото заявление, при условие че нейните ключови понятия са дефинирани, както е описано по-горе &rsquo-. По-специално, след промяна е доста приемливо: &ldquo пространство&rdquo- -> &ldquo-цифрово поле&rdquo-- &ldquo-прилика връзка&rdquo- &операция ldquo-смяна на набор от кардинални числа&rdquo-- &ldquo мащаб&rdquo- -> &ldquo мощност&rdquo-. Предоставянето на тази замяна, ще получите ясна индикация за пряката връзка между теорията на фракталите и нестандартно анализ. Тази връзка може да се демонстрира в строителния примера на фрактални системи с цифри, въведени по-долу (PSF).

Топология нестандартен анализ

Започвайки с произведенията на основоположниците на нестандартен анализ, общоприетите мнение, че &ldquo -... нестандартен анализ не е предназначена да фундаментално нови резултати: всички резултати от неговите методи могат да бъдат доказани и познати инструменти&rdquo- [362, стр. 4]. По-нататък се пояснява, че нестандартен анализ не е нищо повече (и не по-малко!), Отколкото логично трик за провеждане на кратко и ясно мислене, като напълно &ldquo-несмилаем&rdquo- форма (но въпреки това е възможно по принцип) по обичайния анализа. Или, както е посочено в личен разговор с автора на тези редове един колега, че &ldquo-за нестандартен анализ не струва всяка нова топология&rdquo-. Но това е? Едва ли.

Необходимо е да се привлече вниманието към един интересен клас на фрактали, отговарящи такъв модифициран дефиниция. Ако конструктивният инвариантна набор от алгоритмична връзка повторение между нивото на индекс структура и измерение (или топологично фрактал) това ниво, е възможно да се изгради един безкраен клас фрактали променлива величина. По-специално, счита се, че това се отнася до такива структури пространствено-времеви фрактални POEFS-TPF. Това се доказва от прехода в двумерен пространство, когато се разглежда комбиниране електромагнитна и преход в десет тримерно пространство в анализа на ултрафини структури спектри (ст., Съответно, Sec. 2.8.3 и Допълнение 3 Sec. 3).

На първо място, няма съмнение в това, че всички логиката е топологията на снимачната площадка на елементарни предложения. Съответно, нова логика е новият топологията. В допълнение, книгата V. Допускане цитирано по-горе [362] съдържа примери, които опровергават твърдението му за топологична незначителност на нестандартен анализ. Това са, по-специално: а) одобрението на не-Archimedean поле HyperReal chisel- б) съдържанието на целия § 11, на първо място въвеждането на условия за нестандартни ориентация аналози еквивалентност отношения.
Още по-важно за предмета на настоящата монография примери за топологично nontrivial ™ нестандартни анализ може да даде преформулиране на определенията на топологични измерение и Хаусдорф измерение - Besicovitch. Трябва да се въведе тези модификации е малко преждевременно да се обсъдят редица важни свойства на PSF. Затова ние препоръчваме на читателя да се върнем към тях, след като се запозна със заявлението като цяло.
По-специално, индуктивен топологични измерение инд в несигурно интерпретация ще бъде определен случай. Зададената Е има размер на (п + 1) ако не е набор от измерение инд < (л + 1), а каждая его точка имеет сколь угодно малую окрестность, пересечение границы которой с множеством Е на уровне (к) ФЧС имеет размерность &lsquo-ind <.пи вместе с тем размерность ind п на уровнях (а > к + 1) структуры ФЧС.

По същия начин, не е трудно да преформулира и определяне на топологични размери слаба, определени при използване на покрития.

Забележка. С помощта на тези определения излишък (от гледна точка на топологична) въвеждане в структурата на физическото пространство извън formalizable елемент на - actualism физически принцип (виж Раздел 2.7 ..).

Нека сега да се опитаме да направим представяне на алгоритъм и свойства на PSF. Подробно разглеждане на този въпрос трябва да бъде обект на специално проучване. Тук ние се възползват от възможността да се каже, polukosvennogo анализ на проблема, т.е. Ще разгледаме не само свойствата на PSF като особено математика, включително и на структурата. На първо място, ние се изясни въпросът за връзката между капацитета последователни нива PSF. В действителност, ако те са една и съща мощност, изграждането на PSF е трябвало да загуби значение.
Използването на състоянието посока [362] на равностойността, отношенията между реални и giperdeysgvitelnymi номера и той да се удължи до цялата йерархия на нивата на ФСФ, лесно да се види, че при прогнозирането на всяко от нивата на съседната по-ниска процедурата Cantor направи &ldquo зададена на всички подгрупи&rdquo-. Следователно е ясно, че силата на числови полета, които изграждат нива ФСФ, увеличава монотонно с нивото на индекса.

Йерархично относителността на поставените теорията концепции

Помислете две основни понятия: плътност и капацитет.

плътност

Обикновено ние приемаме, че множеството на естествените числа не е гъста. По-просто казано (но което означава, очевидно за всеки математик превода строгото официално език), което означава, че между всеки две съседни естествени числа, въпреки че можете да поставите най-малко един брой, но този брой не е вече поставена ще бъде естествен. Освен това, множество звукови и реални числа в стандартен анализ гъста. В нестандартен анализ, обаче, твърдението за плътността на тези набори би било грешка. В действителност, това се твърди, че между всеки две реални числа могат да бъдат вкарани повече най-малко един номер, който също ще бъде валиден. Това само означава, че няма две реални числа не са в съседство. И не в най-общия случай, и ако приемем, че всеки две реални числа х, х + DX DX различават по различен от нула стойност. В общия случай е възможно, както се прави в нестандартно анализ, стойността DX атрибут и нулева стойност, така че хипер аналози на реални числа х х + CFx, където DX = О, ще бъдат съседни на валиден подгрупата хипер- реално число ос. Ето защо, се казва в изявлението не означава, че двете, просто, съседни реални числа не може да вмъквате произволен брой номера, които вече няма да са валидни.
Ако преместите идеята за плътността на набора от рационални и реални числа в цялата йерархия на капацитет цифрови системи, това ще бъде още по-плътен набор от положителни числа. В действителност, както вече бе споменато, между двете съседни естествени числа не може да поставите всяко положително цяло число, но можете да поставите безкраен брой числа, принадлежащи към някоя от следните нагоре съоръжения числовите полета. Същото се случва на снимачната площадка на реални числа в нестандартен анализ. Като цяло, това е ясно, че всеки поръчан комплект е плътен спрямо собствените си елементи. И все пак, доколкото може да се съди (но това е само една хипотеза), който и да е последователен набор свободно по отношение на неподходящи елементи, т.е. &ldquo независимите&rdquo- на своето системно разширяване.

мощност

Внимателно проучване на тази концепция е също толкова относително, тъй като концепцията &ldquo плътност&rdquo-. Така че, по традиция, всяка безкрайна поредица от числа разчита изброимо множество. Но това е вярно само толкова дълго, колкото ние се чувствам длъжен да възложи членове на последователностите само натурални показатели. Но, всъщност, защо съвсем естествено? В действителност, ако индексът структурни нива на PSF, както това е направено в настоящото приложение, няма пречки за въвеждането на следните определения. Нивото на елементи на последователност (и а- > 2) индекси членове ФСФ са съвместими (по отношение на определението за квартал на нестандартно въведен в настоящото допълнение) слой елементи (а - 1) PSF.
В тези условия, възможно набор (последователности) от всяка сила, чиито елементи са всеки (включително природни или рационални предположи Повтаря членове) номер. Всъщност последното твърдение не е нищо ново. В действителност, тя вече се съдържа в работата на Cantor &ldquo-обосновка на доктрината за transfinite комплекти&rdquo-. Нашата цел в настоящия случай се пречупва само чрез тази идея концептуален апарат при изграждането на анализ обичай PSF.
Както и да е, нека да не забравяме, че веднага след като ние приписваме на всеки обект, който и да е измерима характеристика, ние по този начин означава наличие на скалата на ценностите на тази характеристика. По-горе се отнася до напълно cardinalities.

Някои математически прилагане на концепцията за фрактал брой системи

Генерализирана континуум Хипотеза

Може да се предположи, че обобщената континуум хипотеза е пряко следствие от съществуването на PSF. В действителност, както вече бе споменато, всеки характеризира с фрактален броимо набор от структурни и йерархични нива, т.е. нива с физически показатели, всеки две съседни на които се различават по един.
Забележка. Препоръчително е да се намали структурно ниво на PSF да се характеризира по-висок индекс. Например, множеството на реалните числа ще има индекс един по-висок индекс изброимо множество.
Такива нива индексира PSF лесно да сравняват индекси Кардиналс цифрови системи. По този начин, генерализирано континуум хипотеза е вярна вече за изграждането на PSF.

теория на числата

Всяка от цифрови системи, включени в PSF се осигурява чрез умножение и допълнение, и съответно идентичността и нула елементи, т.е. Това е най-малко пръстена. начална нивото на първата структура е от две части пръстен, състоящ се от нула и отделните елементи (пренебрегват външен елемент 0). Осъществимост на такава конструкция е видно от факта, че нивата на мощност на всяка от PSF се осъществява напълно на интервала [0,1]. Така PSF структура намалява до фрактален структура сегмент [0,1].

В съответствие с тази методология представени като безкраен брой ос колебания резба с набор от режими на вълната, така че:
а) ниво режими на вълната (А + К -1) образуват фиксирани победи възли на ниво (А + Н), което възли се интерпретира като номера в система цифрова ниво (а + к) в FCHS-
б) видове вълни всички нива две стабилни PSF възел структури образуват удара се интерпретират като числа 0 и 1 по такъв начин в първото ниво има само един PSF (заставане структура) вълна с възли в точки 0 и 1
в) прости числа представляват възли такива режими на вълните, които описват техните функции не са включени в системата на ортонормирани функции на режима на Фурие разширение [0, 1].
Очевидно е, че тази концепция се отваря напълно нов и, освен това, последователни и начини за решаване на поредица от цифри теорията проблеми, свързани с търсенето на номера на редица съответствие с дадени свойства.